Modelo Matematico

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.
Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

La Edad Contemporánea de la Lógica

La Edad Contemporánea de la Lógica

Con trabajos de grandes matemáticos, la lógica tomo cuerpo como potente herramienta matemática. Sus trabajos dieron lugar a una disciplina referida de forma habitual como Lógica Computacional, en cuya concepción han intervenido, como hemos visto, al menos tres grupos diferentes con muy diferentes motivaciones. Sin lugar a dudas, la investigación acerca de las propiedades computacionales de la Lógica es la que, en mayor medida, goza de las características mas atractivas para un matemático, ya que considera los aspectos mas profundos del concepto de computación, permite plantearse problemas de la mas diversa dificultad, toda herramienta matemática le es útil, admite multitud de visiones mutuamente enriquecedoras y, además, exige el constante ir y venir de la abstracción a la realidad. En la actualidad la Lógica Computacional se puede dividir en distintas subespecialidades, cada una de ellas con importantes retos tanto desde el punto de vista de sus fundamentos matemáticos, como desde el de las aplicaciones prácticas que conllevan. Una de estas especialidades es la deducción automática, cuyo desarrollo y metas describiremos con detalle en la próxima sección; describimos someramente a continuación algunos otros tópicos de interés dentro de la Lógica Computacional. Creación de nuevas lógicas y métodos formales. Conforme la Informática ha ido evolucionando, en paralelo ha ido creciendo la necesidad de considerar (o crear) lógicas no clásicas que permitan modelizar distintos aspectos del razonamiento humano o distintas aplicaciones; por ejemplo, el control de procesos involucra modalidades como tiempo, conocimiento y creencia, es hoy una de las líneas de mayor interés y que reclama mayores esfuerzos de investigación. Lenguajes lógicos de programación. En este punto se incluye el estudio de las relaciones entre la l´ogica y los lenguajes de programación, incluyendo los fundamentos lógico-matemáticos de los lenguajes de programación (como el uso de la lógica como base para definir un lenguaje de programación, o para proporcionar la semántica de los programas), y la lógica como herramienta matemática para expresar características de los programas, como en el paradigma de programación lógica con restricciones. Lógica para el procesamiento de información. En esta área se pueden destacar varias ramas en las que interviene la l´ogica, por ejemplo el desarrollo de sistemas de conocimiento y bases de datos, los sistemas multi-agentes, y el procesado del lenguaje natural. En el desarrollo de sistemas lógicos de conocimiento, se incluye el uso de estructuras lógicas en las bases de datos, la revisión de creencias, la integración de información y la modelizacion lógica del aprendizaje. Por su parte, la interacción con los sistemas multi-agentes incluye el desarrollo de lógicas del tiempo y la acción, razonamiento abductivo (que se puede interpretar como búsqueda de explicaciones a hechos observados) o razonamiento no monótono (en el que fórmulas deducidas previamente pueden no ser válidas con un conjunto mayor de hipótesis). Por ultimo, respecto del procesado del lenguaje natural, cabe destacar el desarrollo de semánticas lógicas para el lenguaje, la comprensión del lenguaje como procesos de inferencia, y los formalismos basados en la l´ogica para el análisis de las gramáticas. Aplicaciones de la Lógica a la ingeniería. Los métodos lógicos están desempeñando un papel cada vez más importante en distintos campos de la ingeniería, especialmente en ingeniería eléctrica e ingeniería mecánica. Las técnicas más relevantes hacen uso de la lógica difusa y de instrumentos de control lógico para, por ejemplo, el desarrollo de controladores difusos para la industria, o el uso de herramientas lógicas para el control y la verificación de instrumentos mecánicos.

La Edad Moderna de la Lógica

La Edad Moderna de la Lógica

El siglo xix fue testigo de un esfuerzo concertado para desarrollar una base firme sobre la que fundamentar las matemáticas, con definiciones precisas, axiomas y construcciones. La imprecisión de las definiciones provocaba confusión y controversia. Difícilmente se distinguía una función de su representación simbólica; la continuidad de la continuidad uniforme, etc. El mismo Cauchy, uno de los grandes defensores del rigor en el análisis, dio una ((demostración)) de que la suma de una serie infinita de funciones continuas es continua, a la que en 1826 Abel dio un contraejemplo. Hemos de retrasar nuestro reloj unos dos mil quinientos años para recordar la elegancia del planteamiento de los Elementos de Euclides, la geometría sintética se tomó como el fundamento lógico de las matemáticas: cada campo de las matemáticas debía, pues, ser reducido a la geometría. Con la introducción en el siglo xvii de los sistemas coordenados, Descartes redujo la geometría sintética a la geometría analítica y, por lo tanto, todo quedó reducido al álgebra y a la aritmética. Este paso llevó al gran esfuerzo para definir cualquier estructura matemática compleja en términos de otras estructuras más simples. Finalmente, Dedekind y Peano como bien sabemos, mostraron que incluso los naturales se pueden construir a partir únicamente de un conjunto unitario (el o el 1) y una función sucesor S(x). Para llevar a cabo de manera formal esta aritmetizacion se necesitaba completar una laguna que podemos dividir en dos frentes:

1. Si todas las propiedades de todos los sistemas se deducen mediante inferencias lógicas, primero hay que plantearse una definición formal del lenguaje lógico que se utilizara y luego hay que decidir sus conjuntos de axiomas y de reglas de inferencia.

2. Por otra parte, si cada sistema se define en términos de sistemas más simples mediante construcciones conjuntistas, junto con postulados de existencia de algunos conjuntos para poder empezar el trabajo, ¿que conjuntos merecen existir por convenio?, ¿cuales son las construcciones conjuntistas necesarias?, ¿cuales son los axiomas de la teoría de conjuntos?

5.1. La crisis de los fundamentos
La introducción del concepto de lenguaje formal como objeto de estudio claramente diferenciado del lenguaje natural (o metalenguaje) usado para expresar sus propiedades fue adecuadamente tratado por Gottlob Frege (1848– 1925). Dio el primer tratamiento formal de la lógica de predicados incluyendo tanto los cuantificadores y las relaciones como las conectivas proposicionales; combinando el tratamiento aristotélico de los cuantificadores y el tratamiento booleano de las conectivas proposicionales y los símbolos de relación R de cualquier numero de argumentos, definió la noción de fórmula lógica construida a partir de fórmulas atómicas de la forma R(x1, . . . , xn) mediante las conectivas proposicionales y los cuantificadores. Frege dio, también por vez primera, un conjunto de axiomas y reglas de inferencia, así como la definición de demostración como una secuencia finita de fórmulas, cada una de las cuales es o un axioma o se deduce de las fórmulas anteriores tras la aplicación de una regla de inferencia. La introducción de la base actual de la semántica de la lógica de predicados fue fruto de Ernst Schroder (1841–1902). Con la introducción de los lenguajes de primer orden, la lógica da lugar a expectativas sobre un gran deseo, ampliamente compartido, que solo David Hilbert (1862–1943) se atrevería a expresar explícitamente en 1900 en el
Congreso Internacional de Matemáticos. En su lista de 23 problemas para los matemáticos del siglo veinte, propone como segundo problema el uso del sistema de Frege para expresar toda la matemática y probar su consistencia, es decir, que es imposible obtener contradicciones, como por ejemplo 0 = 1 o 0 6= 0. Frege también presento en sus Grundgesetze der Arithmetik un fundamento formal común tanto para la lógica como para las matemáticas. La idea fundamental de Frege era que toda propiedad que pudiese ser formulada


En el lenguaje formal seria aceptable como un símbolo de predicado P. Un conjunto de objetos A seria admisible también como un objeto, que podría ser a su vez miembro de otro conjunto. El sistema de Frege era seductivamente simple. No hay más que escribir una descripción de nuestro conjunto favorito para asegurar su existencia y unicidad (en base a los axiomas de comprensión y extensionalidad). Pero he aquí que, mientras el segundo volumen de sus Grundgesetze estaba ya en imprenta, la paradoja de Russell hizo su aparición: Supongamos que P(x) representa la propiedad ¬(x 2 x); y consideremos el conjunto A = {x P(x)}. Al aplicar esta definición al propio A como elemento se obtiene que A 2 A si y solo si A /2 A, una flagrante contradicción.3 Toda la estructura elaborada por Frege para la fundamentacion lógica de las matemáticas se colapsó en una gran contradicción justo cuando la obra estaba terminada.
Por otra parte, tras la introducción por Georg Cantor (1845–1918) de la noción de conjunto como objeto semántico unificador, algunos matemáticos de renombre, entre ellos Hilbert, pensaron que iba a ser el concepto primitivo que permitiría expresar formalmente todas las Matemáticas. No todo el mundo matemático aceptó de buen grado las teorías de Cantor, especialmente sus números transfinitos, entre sus detractores destaca Leopold Kronecker (1823–1891), promotor del constructivismo en las demostraciones matemáticas, que atacó especialmente la imposibilidad de ((construir)) conjuntos infinitos.
La aparición de paradojas en la teoría intuitiva de conjuntos y, muy especialmente, la paradoja de Russell en el sistema de Frege, proyectaron una oscura sombra de duda sobre los fundamentos de las Matemáticas, lo que repercutía en las dudas acerca de su consistencia. Estas paradojas condujeron a Bertrand Russell (1872–1970) y a Alfred N. Whitehead (1861–1947) a refinar el sistema de Frege mediante un lenguaje estratificado de objetos con tipos, y a proponer el desarrollo de la formalización de las matemáticas en sus Principia Matemática. Este enfoque se denominó corriente logicista de los fundamentos matemáticos. Por su parte, Hilbert dio el primer conjunto completo de axiomas para la geometría euclıdea y, en la década de 1920, aplico dicha filosofía a la mismísima lógica de las matemáticas, introduciendo la corriente formalista que, fundamentalmente, pretendía eliminar la posible interpretación de los símbolos matemáticos usados, y de este modo evitar el uso de la intuición en el repertorio de herramientas matemáticas. Ahora bien, si los axiomas elegidos no están basados en interpretaciones sensibles, difícilmente se puede alegar su carácter de ((evidentes)), de modo que surge la necesidad de demostrar que el conjunto de axiomas con el que
Se trabaja es consistente. En su obra conjunta con Wilhem Ackermann, la lógica de predicados fue separada como objeto propio de estudio y se hizo hincapié especialmente en las demostraciones de consistencia y de decidibilidad, es decir, la existencia de algoritmos que permitiesen decidir de manera automática la validez de las fórmulas de la lógica de predicados. Esta empresa dio lugar a la introducción de la metamatemática, el estudio matemático de los métodos y razonamientos de las Matemáticas. Esta rama
Es conocida en la actualidad como teoría de la demostración. Lamentablemente, el programa de Hilbert termino de una forma completamente inesperada, ya que Kurt G¨odel (1906–1978) lo refutaría definitivamente demostrando su teorema de in completitud: en todo sistema formal consistente capaz de contener la aritmética existen fórmulas verdaderas que no pueden ser demostradas en el sistema. Como consecuencia se obtiene que si el sistema de las Matemáticas es consistente (ni siquiera pensemos las consecuencias de su inconsistencia) entonces existen enunciados verdaderos que no admiten demostración.

La Edad Media de la Lógica

La Edad Media de la Lógica

Decíamos que hubo que esperar más de dos mil años para que se volviesen a conocer las tablas de verdad. Mas concretamente, el álgebra de clases y la lógica de proposiciones fueron descubiertas de nuevo y desarrolladas mucho mas completamente a mediados del siglo xix por Augustus de Morgan (1806–1871) y George Boole (1815 1864).

La contribución de A. de Morgan represento una extensión de la Silogística, introdujo conectivas proposicionales y sus leyes, así como una rudimentaria teoría de relaciones. Por su parte, G. Boole (re-)descubrió las tablas de verdad para las proposiciones y la forma normal disyuntiva (disyunción de conjunciones de literales), que introdujo con el nombre de la ((ley de expansión)). Fue el quien desarrolló un razonamiento sistemático de la lógica de las proposiciones basado en el álgebra pura, cuyo trabajo llevó más tarde a lo que se conoce como el álgebra de la lógica. Usando términos modernos, Boole interpreto las fórmulas lógicas con n proposiciones atómicas como funciones Z2 n −! Z2. Las conectivas proposicionales fueron interpretadas como meras funciones binarias. Boole trabajó con tres conectivos ^, _ y ¬, cuya interpretación es la siguiente, para dos proposiciones cualesquiera p y q:

p _ q es verdadera si y solo si al menos una p o q es verdadera.

p ^ q es verdadera si y solo si ambas p y q son verdaderas.

¬p es verdadera si y solo si p no es verdadera.

En el álgebra usual sobre los números reales o complejos, el álgebra de los polinomios formales y el álgebra de las funciones polinomicas son virtualmente indistinguibles, con más propiedad diríamos isomorfos. Siguiendo la identificación indicada para los polinomios, es natural que Boole identificara el significado de una proposición con la función proposicional bivaluada inducida. Bajo esta identificación, las operaciones lógicas ((y)), ((o)), y ((no)) se corresponden con operaciones sobre las funciones proposicionales. Esto convierte el conjunto de proposiciones en una estructura algebraica donde dos proposiciones son iguales si denotan la misma función proposicional; Asimismo, Boole observo la relación entre los cuantificadores universal y existencial y las cotas superiores mínimas y las cotas inferiores máximas (respectivamente) e introdujo una notación algebraica para los mismos, conceptos que fueron formalizados y extensamente desarrollados por Schroder [50, 51], pero no tuvo una buena teoría de la cuantificación como tal. No mejoro el tratamiento aristotélico de los cuantificadores excepto para notar que también son operaciones sobre las funciones proposicionales.

HISTORIA DE LA LÓGICA

Podemos distinguir dos etapas o dos tipos de lógica: la lógica antigua y la lógica moderna (matemática).

1.− LA LÓGICA ANTIGUA

Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló ampliamente la silogística que es igual a la actual lógica de clases. Parménides y Platón también realizaron estudios lógicos.
Posteriormente, los ESTOICOS hicieron algunas aportaciones a la lógica: desarrollaron el silogismo hipotético (condicional y disyuntivo) e iniciaron lo que actualmente se llama lógica proposicional.
Los lógicos medievales continuaron estudiando la lógica aristotélica, no añadieron nada sustancial, pero si hicieron notables avances en un campo desconocido en esa época, la semántica.
Los filósofos modernos se interesaron más por la metodología de la ciencia y por los estudios lógicos.

2.− LA LÓGICA MODERNA (MATEMÁTICA)

Hacia la mitad del S. XIX, la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Esto se debió a que se realizaron encuentro de cuatro corrientes distintas:
1.− La lógica aristotélica.
2.− La idea de un lenguaje matemático universal.
3.− Los progresos de álgebra y la geometría.
4.− La concepción de amplios sectores de la matemática como sistema deductivo, lo cual conducía a la necesidad de construir "la lógica de la matemática".
Esta lógica se inicia con The Mathematical Analysis of Logic (1847), de G. Boole, "Ensayo acerca de un cálculo del razonamiento deductivo" que indica como la lógica aparece como un cálculo algebraico; se produce a una completa simbolización; los enunciados lógicos son concebidos como ecuaciones, y se formulan leyes lógicas. Boole desarrolla la lógica de clases y la lógica proposicional. El álgebra se convierte en modelo de la lógica. Y el cálculo que crea Boole es totalmente artificial. Más tarde, Ch.S. Peirce hará aportaciones: la lógica de relaciones, el método de matrices (o tablas de verdad) y nuevos desarrollos de la lógica proposicional.
Así pues, la nueva lógica surge de la aplicación de los métodos matemáticos a la lógica antigua. Por eso se puede decir que se abre un nuevo período, cuando las matemáticas se convierten en objeto de lógica.
Fue el italiano G. Peano quien usó por primera vez la expresión "lógica matemática"; de este modo pudo realizar la axiomatización de la aritmética.
El último período supone la aparición de lógicas divergentes, es decir, lógicas que no respetan alguno de los rasgos característicos de la lógica "clásica".

De Euclides y Arquímedes a Newton y Leibniz

De Euclides y Arquímedes a Newton y Leibniz

Reafirmando lo indicado en el resumen, algunos autores han afirmado que la Lógica es a la Computación como el Cálculo es a la Física. Por esta razón presentamos una brevísima visión de la importancia del Cálculo como herramienta para la mecanización del conocimiento de fenómenos físicos para, en las secciones siguientes, esbozar la historia de la Lógica Matemática y su aportación a la Informática actual. En el desarrollo histórico de las ciencias matemáticas se pueden distinguir varias etapas aunque, sin duda, no es hasta la civilización griega cuando las Matemáticas aparecen como una disciplina ((formal)). En contraste con sus antecesores, los griegos tuvieron la originalidad de hacer un esfuerzo considerable para que sus demostraciones estuvieran fuera de toda duda respecto a su verosimilitud. El origen de la lógica formal puede centrarse, asimismo, en este periodo histórico. Durante la época de esplendor de la Grecia Clásica, Platón (c. 428–348 a.C.) hizo de la Geometría un requisito imprescindible para entrar a su Academia. Es bien conocido el lema de su Academia ((Nadie pase sin saber Geometría)), pues de un experto en geometría se suponía, como el valor a un soldado, la habilidad para razonar con corrección y exactitud.
No hay dudas de que Euclides de Alejandría (c.330–c.275 a.C.) fue el impulsor definitivo del método axiomático en Geometría: en sus Elementos, Euclides agrupó las derivaciones de la escuela Pitagórica y las de muchos otros en un todo unificado. Los Elementos proporcionaron un modelo para todos los subsiguientes trabajos matemáticos, y representan el principio de la matemática moderna (forman el primer sistema formal de la matemática), que ha estado en uso durante mas de dos mil años. Arquímedes (287–212 a.C.), entre otros, mostró como usar la geometría sintética para calcular areas y volúmenes de muchas figuras y sólidos simples. También resolvió geométricamente muchos problemas de mecánica, hidrostática y óptica. En sus trabajos se puede observar cómo surgen problemas de índole matemática a partir de los esfuerzos científicos para extraer las leyes de la naturaleza. Por su parte, parece ser que la motivación principal de Euclides al desarrollar su geometría fue fundamentalmente artística, es decir, el placer estético. Se intuye, pues, la existencia de dos enfoques de las Matemáticas: uno encaminado a objetivos eminentemente prácticos (¿matemática aplicada?) y otro cuya motivación es de carácter puramente formal alejada de todo pragmatismo (¿matemática pura?). Veremos más adelante, sin embargo, que precisamente el estudio formal del método axiomático, y sus connotaciones respecto de los fundamentos de las Matemáticas, fue el detonante del estudio de la computabilidad y, finalmente, del desarrollo de la Informática. En los veinte siglos que separan a Euclides y Arquímedes de Newton (1640–1722) y Leibniz (1640–1710), se resolvieron problemas de dificultad creciente en distintas disciplinas físicas, cada uno de los cuales necesitó de métodos desarrollados ad hoc. Cada avance en Física o Matemáticas conseguido con el método geométrico requería el extraordinario talento matemático de, por ejemplo, una figura de la talla de Galileo (1564–1642). Las cosas cambiaron completamente después de que Descartes (1596– 1650) descubriera que los problemas geométricos se podrían traducir a problemas algebraicos. De este modo los métodos geométricos fueron reemplazados por cálculos algebraicos. Ya había indicios de la aplicación de métodos porto-algebraicos de integración y diferenciación en los trabajos de Fermat (1601–1665), Barrow (1630–1677), que fue profesor de Newton, y Cavalieri (1598–1647), que fue predecesor de Leibniz. Los métodos simbólicos de diferenciación e integración descubiertos por Newton y Leibniz hicieron posible que las sucesivas generaciones usaran cálculos ordinarios para desarrollar la ciencia y la ingeniería sin necesidad de ideas (geométricas) felices. Estos métodos aún están en la base de la comprensión, modelado, simulado, diseño y desarrollo de sistemas físicos. En otro orden de cosas, Leibniz fue el primero en afirmar la posible existencia de algo equivalente a una lógica formal completa para describir el razonamiento. No estaba satisfecho con la l´ogica aristotélica y desarrolló sus propias ideas para mejorarla. Estaba convencido de que podría desarrollar un lenguaje para, y un calculo de, los razonamientos que seria tan importante como el calculo desarrollado por el mismo y Newton para las derivadas y las integrales. Llamo lengua característica a este nuevo lenguaje y calculus ratiocinator al esperado calculo, con el cual, la mente ((será liberada de tener que pensar en las cosas en sı mismas, y aún así todo funcionara perfectamente)). Leibniz esperaba que estas nuevas ideas expandieran la capacidad de razonamiento mediante la reducción a un cálculo simbólico de mucha de la labor necesaria para descubrir cómo obtener determinada conclusión a partir de unas premisas dadas, y cómo comprobar la corrección de una deducción. Dicho de otro modo, esperaba la existencia de un cálculo análogo al cálculo infinitesimal, pero un cálculo de razonamientos para tratar las deducciones con proposiciones. Pese al ((sueño de Leibniz)), la Lógica Matemática se iba gestando más lentamente; el desarrollo de las ideas, notación y formalismos adecuados para la obtención de conceptos similares al cálculo diferencial, en cuanto a potencia, para la Lógica necesitó varios siglos más. Podemos hacer un símil con la división habitual de periodos históricos, aunque es preciso notar que no coinciden temporalmente con los periodos homónimos de la Historia Universal, y así dividir el desarrollo de la Lógica en una Edad Antigua, que se corresponde con la Lógica Tradicional (500 a.C–1847); una Edad Media, con el desarrollo de la Lógica Simbólica (1847–1880); una Edad Moderna, en la que se introduce la Lógica Matemática de manera formal (1880–1960); y una Edad Contemporánea, en la que surge la Lógica Computacional (desde 1960 a la actualidad).