lunes, 16 de junio de 2008

La Edad Media de la Lógica

La Edad Media de la Lógica

Decíamos que hubo que esperar más de dos mil años para que se volviesen a conocer las tablas de verdad. Mas concretamente, el álgebra de clases y la lógica de proposiciones fueron descubiertas de nuevo y desarrolladas mucho mas completamente a mediados del siglo xix por Augustus de Morgan (1806–1871) y George Boole (1815 1864).

La contribución de A. de Morgan represento una extensión de la Silogística, introdujo conectivas proposicionales y sus leyes, así como una rudimentaria teoría de relaciones. Por su parte, G. Boole (re-)descubrió las tablas de verdad para las proposiciones y la forma normal disyuntiva (disyunción de conjunciones de literales), que introdujo con el nombre de la ((ley de expansión)). Fue el quien desarrolló un razonamiento sistemático de la lógica de las proposiciones basado en el álgebra pura, cuyo trabajo llevó más tarde a lo que se conoce como el álgebra de la lógica. Usando términos modernos, Boole interpreto las fórmulas lógicas con n proposiciones atómicas como funciones Z2 n −! Z2. Las conectivas proposicionales fueron interpretadas como meras funciones binarias. Boole trabajó con tres conectivos ^, _ y ¬, cuya interpretación es la siguiente, para dos proposiciones cualesquiera p y q:

p _ q es verdadera si y solo si al menos una p o q es verdadera.

p ^ q es verdadera si y solo si ambas p y q son verdaderas.

¬p es verdadera si y solo si p no es verdadera.

En el álgebra usual sobre los números reales o complejos, el álgebra de los polinomios formales y el álgebra de las funciones polinomicas son virtualmente indistinguibles, con más propiedad diríamos isomorfos. Siguiendo la identificación indicada para los polinomios, es natural que Boole identificara el significado de una proposición con la función proposicional bivaluada inducida. Bajo esta identificación, las operaciones lógicas ((y)), ((o)), y ((no)) se corresponden con operaciones sobre las funciones proposicionales. Esto convierte el conjunto de proposiciones en una estructura algebraica donde dos proposiciones son iguales si denotan la misma función proposicional; Asimismo, Boole observo la relación entre los cuantificadores universal y existencial y las cotas superiores mínimas y las cotas inferiores máximas (respectivamente) e introdujo una notación algebraica para los mismos, conceptos que fueron formalizados y extensamente desarrollados por Schroder [50, 51], pero no tuvo una buena teoría de la cuantificación como tal. No mejoro el tratamiento aristotélico de los cuantificadores excepto para notar que también son operaciones sobre las funciones proposicionales.