La Edad Moderna de la Lógica
El siglo xix fue testigo de un esfuerzo concertado para desarrollar una base firme sobre la que fundamentar las matemáticas, con definiciones precisas, axiomas y construcciones. La imprecisión de las definiciones provocaba confusión y controversia. Difícilmente se distinguía una función de su representación simbólica; la continuidad de la continuidad uniforme, etc. El mismo Cauchy, uno de los grandes defensores del rigor en el análisis, dio una ((demostración)) de que la suma de una serie infinita de funciones continuas es continua, a la que en 1826 Abel dio un contraejemplo. Hemos de retrasar nuestro reloj unos dos mil quinientos años para recordar la elegancia del planteamiento de los Elementos de Euclides, la geometría sintética se tomó como el fundamento lógico de las matemáticas: cada campo de las matemáticas debía, pues, ser reducido a la geometría. Con la introducción en el siglo xvii de los sistemas coordenados, Descartes redujo la geometría sintética a la geometría analítica y, por lo tanto, todo quedó reducido al álgebra y a la aritmética. Este paso llevó al gran esfuerzo para definir cualquier estructura matemática compleja en términos de otras estructuras más simples. Finalmente, Dedekind y Peano como bien sabemos, mostraron que incluso los naturales se pueden construir a partir únicamente de un conjunto unitario (el o el 1) y una función sucesor S(x). Para llevar a cabo de manera formal esta aritmetizacion se necesitaba completar una laguna que podemos dividir en dos frentes:
1. Si todas las propiedades de todos los sistemas se deducen mediante inferencias lógicas, primero hay que plantearse una definición formal del lenguaje lógico que se utilizara y luego hay que decidir sus conjuntos de axiomas y de reglas de inferencia.
2. Por otra parte, si cada sistema se define en términos de sistemas más simples mediante construcciones conjuntistas, junto con postulados de existencia de algunos conjuntos para poder empezar el trabajo, ¿que conjuntos merecen existir por convenio?, ¿cuales son las construcciones conjuntistas necesarias?, ¿cuales son los axiomas de la teoría de conjuntos?
5.1. La crisis de los fundamentos
La introducción del concepto de lenguaje formal como objeto de estudio claramente diferenciado del lenguaje natural (o metalenguaje) usado para expresar sus propiedades fue adecuadamente tratado por Gottlob Frege (1848– 1925). Dio el primer tratamiento formal de la lógica de predicados incluyendo tanto los cuantificadores y las relaciones como las conectivas proposicionales; combinando el tratamiento aristotélico de los cuantificadores y el tratamiento booleano de las conectivas proposicionales y los símbolos de relación R de cualquier numero de argumentos, definió la noción de fórmula lógica construida a partir de fórmulas atómicas de la forma R(x1, . . . , xn) mediante las conectivas proposicionales y los cuantificadores. Frege dio, también por vez primera, un conjunto de axiomas y reglas de inferencia, así como la definición de demostración como una secuencia finita de fórmulas, cada una de las cuales es o un axioma o se deduce de las fórmulas anteriores tras la aplicación de una regla de inferencia. La introducción de la base actual de la semántica de la lógica de predicados fue fruto de Ernst Schroder (1841–1902). Con la introducción de los lenguajes de primer orden, la lógica da lugar a expectativas sobre un gran deseo, ampliamente compartido, que solo David Hilbert (1862–1943) se atrevería a expresar explícitamente en 1900 en el
Congreso Internacional de Matemáticos. En su lista de 23 problemas para los matemáticos del siglo veinte, propone como segundo problema el uso del sistema de Frege para expresar toda la matemática y probar su consistencia, es decir, que es imposible obtener contradicciones, como por ejemplo 0 = 1 o 0 6= 0. Frege también presento en sus Grundgesetze der Arithmetik un fundamento formal común tanto para la lógica como para las matemáticas. La idea fundamental de Frege era que toda propiedad que pudiese ser formulada
En el lenguaje formal seria aceptable como un símbolo de predicado P. Un conjunto de objetos A seria admisible también como un objeto, que podría ser a su vez miembro de otro conjunto. El sistema de Frege era seductivamente simple. No hay más que escribir una descripción de nuestro conjunto favorito para asegurar su existencia y unicidad (en base a los axiomas de comprensión y extensionalidad). Pero he aquí que, mientras el segundo volumen de sus Grundgesetze estaba ya en imprenta, la paradoja de Russell hizo su aparición: Supongamos que P(x) representa la propiedad ¬(x 2 x); y consideremos el conjunto A = {x P(x)}. Al aplicar esta definición al propio A como elemento se obtiene que A 2 A si y solo si A /2 A, una flagrante contradicción.3 Toda la estructura elaborada por Frege para la fundamentacion lógica de las matemáticas se colapsó en una gran contradicción justo cuando la obra estaba terminada.
Por otra parte, tras la introducción por Georg Cantor (1845–1918) de la noción de conjunto como objeto semántico unificador, algunos matemáticos de renombre, entre ellos Hilbert, pensaron que iba a ser el concepto primitivo que permitiría expresar formalmente todas las Matemáticas. No todo el mundo matemático aceptó de buen grado las teorías de Cantor, especialmente sus números transfinitos, entre sus detractores destaca Leopold Kronecker (1823–1891), promotor del constructivismo en las demostraciones matemáticas, que atacó especialmente la imposibilidad de ((construir)) conjuntos infinitos.
La aparición de paradojas en la teoría intuitiva de conjuntos y, muy especialmente, la paradoja de Russell en el sistema de Frege, proyectaron una oscura sombra de duda sobre los fundamentos de las Matemáticas, lo que repercutía en las dudas acerca de su consistencia. Estas paradojas condujeron a Bertrand Russell (1872–1970) y a Alfred N. Whitehead (1861–1947) a refinar el sistema de Frege mediante un lenguaje estratificado de objetos con tipos, y a proponer el desarrollo de la formalización de las matemáticas en sus Principia Matemática. Este enfoque se denominó corriente logicista de los fundamentos matemáticos. Por su parte, Hilbert dio el primer conjunto completo de axiomas para la geometría euclıdea y, en la década de 1920, aplico dicha filosofía a la mismísima lógica de las matemáticas, introduciendo la corriente formalista que, fundamentalmente, pretendía eliminar la posible interpretación de los símbolos matemáticos usados, y de este modo evitar el uso de la intuición en el repertorio de herramientas matemáticas. Ahora bien, si los axiomas elegidos no están basados en interpretaciones sensibles, difícilmente se puede alegar su carácter de ((evidentes)), de modo que surge la necesidad de demostrar que el conjunto de axiomas con el que
Se trabaja es consistente. En su obra conjunta con Wilhem Ackermann, la lógica de predicados fue separada como objeto propio de estudio y se hizo hincapié especialmente en las demostraciones de consistencia y de decidibilidad, es decir, la existencia de algoritmos que permitiesen decidir de manera automática la validez de las fórmulas de la lógica de predicados. Esta empresa dio lugar a la introducción de la metamatemática, el estudio matemático de los métodos y razonamientos de las Matemáticas. Esta rama
Es conocida en la actualidad como teoría de la demostración. Lamentablemente, el programa de Hilbert termino de una forma completamente inesperada, ya que Kurt G¨odel (1906–1978) lo refutaría definitivamente demostrando su teorema de in completitud: en todo sistema formal consistente capaz de contener la aritmética existen fórmulas verdaderas que no pueden ser demostradas en el sistema. Como consecuencia se obtiene que si el sistema de las Matemáticas es consistente (ni siquiera pensemos las consecuencias de su inconsistencia) entonces existen enunciados verdaderos que no admiten demostración.
El siglo xix fue testigo de un esfuerzo concertado para desarrollar una base firme sobre la que fundamentar las matemáticas, con definiciones precisas, axiomas y construcciones. La imprecisión de las definiciones provocaba confusión y controversia. Difícilmente se distinguía una función de su representación simbólica; la continuidad de la continuidad uniforme, etc. El mismo Cauchy, uno de los grandes defensores del rigor en el análisis, dio una ((demostración)) de que la suma de una serie infinita de funciones continuas es continua, a la que en 1826 Abel dio un contraejemplo. Hemos de retrasar nuestro reloj unos dos mil quinientos años para recordar la elegancia del planteamiento de los Elementos de Euclides, la geometría sintética se tomó como el fundamento lógico de las matemáticas: cada campo de las matemáticas debía, pues, ser reducido a la geometría. Con la introducción en el siglo xvii de los sistemas coordenados, Descartes redujo la geometría sintética a la geometría analítica y, por lo tanto, todo quedó reducido al álgebra y a la aritmética. Este paso llevó al gran esfuerzo para definir cualquier estructura matemática compleja en términos de otras estructuras más simples. Finalmente, Dedekind y Peano como bien sabemos, mostraron que incluso los naturales se pueden construir a partir únicamente de un conjunto unitario (el o el 1) y una función sucesor S(x). Para llevar a cabo de manera formal esta aritmetizacion se necesitaba completar una laguna que podemos dividir en dos frentes:
1. Si todas las propiedades de todos los sistemas se deducen mediante inferencias lógicas, primero hay que plantearse una definición formal del lenguaje lógico que se utilizara y luego hay que decidir sus conjuntos de axiomas y de reglas de inferencia.
2. Por otra parte, si cada sistema se define en términos de sistemas más simples mediante construcciones conjuntistas, junto con postulados de existencia de algunos conjuntos para poder empezar el trabajo, ¿que conjuntos merecen existir por convenio?, ¿cuales son las construcciones conjuntistas necesarias?, ¿cuales son los axiomas de la teoría de conjuntos?
5.1. La crisis de los fundamentos
La introducción del concepto de lenguaje formal como objeto de estudio claramente diferenciado del lenguaje natural (o metalenguaje) usado para expresar sus propiedades fue adecuadamente tratado por Gottlob Frege (1848– 1925). Dio el primer tratamiento formal de la lógica de predicados incluyendo tanto los cuantificadores y las relaciones como las conectivas proposicionales; combinando el tratamiento aristotélico de los cuantificadores y el tratamiento booleano de las conectivas proposicionales y los símbolos de relación R de cualquier numero de argumentos, definió la noción de fórmula lógica construida a partir de fórmulas atómicas de la forma R(x1, . . . , xn) mediante las conectivas proposicionales y los cuantificadores. Frege dio, también por vez primera, un conjunto de axiomas y reglas de inferencia, así como la definición de demostración como una secuencia finita de fórmulas, cada una de las cuales es o un axioma o se deduce de las fórmulas anteriores tras la aplicación de una regla de inferencia. La introducción de la base actual de la semántica de la lógica de predicados fue fruto de Ernst Schroder (1841–1902). Con la introducción de los lenguajes de primer orden, la lógica da lugar a expectativas sobre un gran deseo, ampliamente compartido, que solo David Hilbert (1862–1943) se atrevería a expresar explícitamente en 1900 en el
Congreso Internacional de Matemáticos. En su lista de 23 problemas para los matemáticos del siglo veinte, propone como segundo problema el uso del sistema de Frege para expresar toda la matemática y probar su consistencia, es decir, que es imposible obtener contradicciones, como por ejemplo 0 = 1 o 0 6= 0. Frege también presento en sus Grundgesetze der Arithmetik un fundamento formal común tanto para la lógica como para las matemáticas. La idea fundamental de Frege era que toda propiedad que pudiese ser formulada
En el lenguaje formal seria aceptable como un símbolo de predicado P. Un conjunto de objetos A seria admisible también como un objeto, que podría ser a su vez miembro de otro conjunto. El sistema de Frege era seductivamente simple. No hay más que escribir una descripción de nuestro conjunto favorito para asegurar su existencia y unicidad (en base a los axiomas de comprensión y extensionalidad). Pero he aquí que, mientras el segundo volumen de sus Grundgesetze estaba ya en imprenta, la paradoja de Russell hizo su aparición: Supongamos que P(x) representa la propiedad ¬(x 2 x); y consideremos el conjunto A = {x P(x)}. Al aplicar esta definición al propio A como elemento se obtiene que A 2 A si y solo si A /2 A, una flagrante contradicción.3 Toda la estructura elaborada por Frege para la fundamentacion lógica de las matemáticas se colapsó en una gran contradicción justo cuando la obra estaba terminada.
Por otra parte, tras la introducción por Georg Cantor (1845–1918) de la noción de conjunto como objeto semántico unificador, algunos matemáticos de renombre, entre ellos Hilbert, pensaron que iba a ser el concepto primitivo que permitiría expresar formalmente todas las Matemáticas. No todo el mundo matemático aceptó de buen grado las teorías de Cantor, especialmente sus números transfinitos, entre sus detractores destaca Leopold Kronecker (1823–1891), promotor del constructivismo en las demostraciones matemáticas, que atacó especialmente la imposibilidad de ((construir)) conjuntos infinitos.
La aparición de paradojas en la teoría intuitiva de conjuntos y, muy especialmente, la paradoja de Russell en el sistema de Frege, proyectaron una oscura sombra de duda sobre los fundamentos de las Matemáticas, lo que repercutía en las dudas acerca de su consistencia. Estas paradojas condujeron a Bertrand Russell (1872–1970) y a Alfred N. Whitehead (1861–1947) a refinar el sistema de Frege mediante un lenguaje estratificado de objetos con tipos, y a proponer el desarrollo de la formalización de las matemáticas en sus Principia Matemática. Este enfoque se denominó corriente logicista de los fundamentos matemáticos. Por su parte, Hilbert dio el primer conjunto completo de axiomas para la geometría euclıdea y, en la década de 1920, aplico dicha filosofía a la mismísima lógica de las matemáticas, introduciendo la corriente formalista que, fundamentalmente, pretendía eliminar la posible interpretación de los símbolos matemáticos usados, y de este modo evitar el uso de la intuición en el repertorio de herramientas matemáticas. Ahora bien, si los axiomas elegidos no están basados en interpretaciones sensibles, difícilmente se puede alegar su carácter de ((evidentes)), de modo que surge la necesidad de demostrar que el conjunto de axiomas con el que
Se trabaja es consistente. En su obra conjunta con Wilhem Ackermann, la lógica de predicados fue separada como objeto propio de estudio y se hizo hincapié especialmente en las demostraciones de consistencia y de decidibilidad, es decir, la existencia de algoritmos que permitiesen decidir de manera automática la validez de las fórmulas de la lógica de predicados. Esta empresa dio lugar a la introducción de la metamatemática, el estudio matemático de los métodos y razonamientos de las Matemáticas. Esta rama
Es conocida en la actualidad como teoría de la demostración. Lamentablemente, el programa de Hilbert termino de una forma completamente inesperada, ya que Kurt G¨odel (1906–1978) lo refutaría definitivamente demostrando su teorema de in completitud: en todo sistema formal consistente capaz de contener la aritmética existen fórmulas verdaderas que no pueden ser demostradas en el sistema. Como consecuencia se obtiene que si el sistema de las Matemáticas es consistente (ni siquiera pensemos las consecuencias de su inconsistencia) entonces existen enunciados verdaderos que no admiten demostración.
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